Какие математические схемы используются при описании систем. Классификации математических моделей. Моделирование процессов оптимального планирования

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Исходной информацией при построении математических моде­лей процессов функционирования систем служат данные о назна­чении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S . Эта информация определяет основную цель моделирования систе­мы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования за­висит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы.

Математические схемы. Введение понятия математическая схема позволяет рассма­тривать математику не как метод расчета, а как метод мыш­ления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания си­стемы к формальному представлению процесса ее функцио­нирования в виде некоторой математической модели (ана­литической или имитационной). При пользовании математи­ческой схемой в первую очередь исследователя системы S должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкрет­ный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы кол­лективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в си­стеме, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслу­живания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при пере­ходе от содержательного к формальному описанию процесса функ­ционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель - математическая схе­ма - математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие пове­дение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы не­обходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регули­руется, в основном, выбором границы «система S - среда Е ». Так­же должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепен­ные. Причем отнесение свойств системы к основным или второ­степенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процес­са функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно пред­ставить в виде множества величин, описывающих процесс функцио­нирования реальной системы и образующих в общем случае сле­дующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

;

совокупность воздействий внешней среды

;

совокупность внутренних, (собственных) параметров системы

;

совокупность выходных характеристик системы

.

Причем в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае , , , являются элементами непересекающихся подмножеств и со­держат как детерминированные, так и стохастические составляю­щие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздейст­вия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид , , , а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндо­генными) переменными и в векторной форме имеют вид ).

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F s , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

. (1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t ) для всех видов
называется выходной траекторией
. Зависимость (1) называется законом функ­ционирования системы S и обозначается F s . В общем случае закон функционирования системы F s может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S являет­ся понятие алгоритма функционирования A s , под которым понимает­ся метод получения выходных характеристик с учетом входных воз­действий
, воздействий внешней среды
и собственных па­раметров системы
. Очевидно, что один и тот же закон функ­ционирования F s системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A s .

Соотношения (1) являются математическим описанием пове­дения объекта (системы) моделирования во времени t , т. е. отра­жают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами).

Для статических моделей математическая модель (1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и { X , V , Н}, что в векторной фор­ме может быть записано как

. (2)

Соотношения (1) и (2) могут быть заданы различными спо­собами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векто­рами

и
,

где
,
, …,
в момент времени
;
,
, …,
в момент времени
и т.д.,
.

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний
, то они могут быть интерпретированы как координаты точки в к -мерном фазовом пространстве. Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством со­стояний объекта моделирования Z , причем
.

Состояния системы S в момент времени t 0 < t *T полностью определяются начальными условиями
[где
,
, …,
], входными воздействиями
, собственными па­раметрами системы
и воздействиями внешней среды
, которые имели место за промежуток времени t *- t 0 , с помощью двух векторных уравнений

; (3)

. (4)

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным переменным
определяет вектор-функцию
, а второе по полученному значению состояний
- эндогенные переменные на выходе системы
. Таким образом, цепочка уравнений объек­та «вход-состояния- выход» позволяет определить характери­стики системы

. (5)

В общем случае время в модели системы S может рассматри­ваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной
временных единиц каждый, когда
, где
- число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реаль­ной системы) понимают конечное подмножество переменных {
} вместе с математическими связями между ними и ха­рактеристиками
.

Если математическое описание объекта моделирования не со­держит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды
и стохастические внутренние параметры
отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детермини­рованными входными воздействиями

. (6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в об­ласти системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные мо­дели, типовые математические схемы имеют преимущества просто­ты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представ­ления систем, функционирующих в непрерывном времени, исполь­зуются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функциони­рующих в дискретном времени, - конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным вре­менем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслужи­вания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех про­цессов, происходящих в больших информационно-управляющих си­стемах. Для таких систем в ряде слу­чаев более перспективным является применение агрегативных мо­делей.

Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характе­ра этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подси­стем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей про­цессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (ко­нечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные авто­маты); непрерывно-стохастический (системы массового обслужи­вания); обобщенный или универсальный (агрегативные системы).

НЕПРЕРЫВНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (D-СХЕМЫ)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного под­хода на примере использования в качестве математических моде­лей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравне­ниями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных поряд­ков. Если неизвестные - функции многих переменных, то уравне­ния называются уравнениями в частных производ­ных, в противном случае при рассмотрении функций только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенны­ми дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независи­мой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t . Тогда математическое соотношение для детерми­нированных систем (6) в общем виде будет

, (7)

где
,
и
- п -мерные векторы;
- вектор-функция, которая определена на неко­тором (п +1)-мерном
множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динами­ку изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они назы­ваются D -схемами (англ. dynamic ).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравне­ние имеет вид

. (8)

Наиболее важно для системотехники приложение D -схем в ка­честве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функциони­рования двух элементарных систем различ­ной физической природы: механической S M (колебания маятника, рис. 1,а) и электри­ческой S K (колебательный контур рис. 1,б).

Рис. 1. Элементарные системы

Процесс малых колебаний маятника опи­сывается обыкновенным дифференциальным уравнением

где
- масса и длина подвеса маятника; g - ускорение сво­бодного падения;
- угол отклонения маятника в момент вре­мени t .

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период ко­лебания маятника

.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

где L к , С к - индуктивность и емкость конденсатора; q (t ) - заряд конденсатора в момент времени t .

Из этого уравнения можно получить различные оценки харак­теристик процесса в колебательном контуре. Например, период электрических колебаний

.

Очевидно, что введя обозначения
,
, ,
, получим обыкновенное диффе­ренциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

где
- параметры системы; z (t ) - состояние системы в момент времени t .

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы S M ) может быть изучено с помощью электри­ческого колебательного контура (системы S K ).

Если изучаемая система S , т. е. маятник или контур, взаимо­действует с внешней средой Е, то появляется входное воздейст­вие х(t ) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид

С точки зрения общей схемы математической модели х(t ) является входным (управляющим) воздействием, а состоя­ние системы S в данном случае можно рассматривать как выход­ную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная сов­падает с состоянием системы в данный момент времени у = z .

Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обра­тить внимание на системы автоматического управле­ния - частный случай динамических систем, описываемых D -схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практи­ческой специфики.

Описывая процессы автоматического управления, придержива­ются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2, где обозначены эндоген­ные переменные :
- вектор входных (задающих) воз­действий;
- вектор возмущающих воздействий;
- век­тор сигналов ошибки;
- вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные :
- вектор состояний систе­мы S;
- вектор выходных переменных, обычно
=
.

Рис. 2. Структура системы автоматического управления

Современная управляющая система - это совокупность про­граммно-технических средств, обеспечивающих достижение объек­том управления определенной цели. Насколько точно объект управ­ления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния у(t ). Разность между задан­ным у зад (t ) и действительным у(t ) законом изменения управ­ляемой величины есть ошибка управления . Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е.
, то
.

Системы, для которых ошибки управления
во все мо­менты времени, называются идеальными. На практике реализация идеальных систем невозможна. Таким образом, ошибка h "(t ) - необходимый элемент автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выход­ной переменной y (t ) ее заданному значению ис­пользуется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управ­ления является измене­ние переменной y (t ) со­гласно заданному зако­ну с определенной точ­ностью (с допустимой ошибкой). При проек­тировании и эксплуата­ции систем автоматиче­ского управления необходимо выбрать такие параметры системы S , которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляет практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регули­руемой переменной у(t ) в переходном процессе, время переход­ного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифферен­циальных уравнений, приближенно описывающих процессы в си­стемах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динами­ческими параметрами системы S .

Таким образом, использование D -схем позволяет формализо­вать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя анали­тический или имитационный подход, реализованный в виде соот­ветствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислитель­ной техники.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Факультеты ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ, ЗДО

Специальность 220201 - УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Направление бакалавриата 220200 - АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

Моделирование систем: рабочая программа, методические указания для самостоятельной работы и контрольные задания. - Вологда: ВоГТУ, 2008. - 22 с.

Приводится рабочая программа дисциплины с указанием тематики основных разделов, методические указания со ссылками на источники информации, контрольные задания и список литературы.

Предназначена для студентов дневной и заочной форм обучения, обучающихся по направлению: 220200 – автоматизация и управление и специальности 220201 – управление и информатика в технических системах и по направлению бакалавриата: 220200 – автоматизация и управление.

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составитель: В.Н. Тюкин, канд. техн. наук, доцент

Рецензент: Е.В. Несговоров, канд. техн. наук, доцент

кафедры УиВС ВоГТУ

За основу программы приняты требования Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования к минимуму содержания и уровню подготовки инженеров по специальности 210100 - управление и информатика в технических системах, введенного с 10.03.2000 г.

Требования к знаниям и умениям по дисциплине

В результате изучения дисциплины студенты должны:

1. Студент должен иметь представление:

О модели и моделировании;

О роли моделирования при исследовании, проектировании и эксплуатации систем;

О назначении ЭВМ при моделировании систем;

О программных и технических средствах моделирования систем.

2. Студент должен знать:

Назначение и требования, предъявляемые к модели;

Классификацию видов моделирования систем;

Принципы подхода в моделировании систем;

Математические схемы моделирования систем;

Основные этапы моделирования систем.

3. Студент должен уметь:

Получать математические модели систем;

Проводить формализацию и алгоритмизацию процесса функционирования систем;

Строить концептуальные и машинные модели систем;

Получать и интерпретировать результаты моделирования.



Требования к минимуму содержания дисциплины

Классификация моделей и виды моделирования; примеры моделей систем; основные положения теории подобия; этапы математического моделирования; принципы построения и основные требования к математическим моделям систем; цели и задачи исследования математических моделей систем; общая схема разработки математических моделей; формализация процесса функционирования системы; понятие агрегатной модели; формы представления математических моделей; методы исследования математических моделей систем и процессов; имитационное моделирование; методы упрощения математических моделей; технические и программные средства моделирования.

Т а б л и ц а 1

Распределение часов учебного плана по формам обучения и видам занятий

Виды занятий Очное обучение Заочное обучение
сем. 7 всего час сем. 9 всего час.
Лекции
Практические занятия
Лаб. работы
Самост. работа
Всего
Итоговый контроль з, э. з, э, 2 к.р.


Т а б л и ц а 2

Распределение часов самостоятельной работы студента по видам работ

ПРОГРАММА КУРСА

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Современное состояние проблемы моделирования систем.

В.2. Использование моделирования при исследовании, проектировании и

управлении систем.

Литература: стр. 4-6.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

1.1. Определение модели и моделирования. Требования, предъявляемые к модели. Назначение модели.

1.2. Принципы подхода в моделировании систем.

1.3. Классификация видов моделирования систем.

1.4. Возможности и эффективность моделирования систем на вычислительных машинах.

Литература: стр. 6-34.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

2.1. Основные подходы к построению математических моделей систем. Математическая схема общего вида.

2.2. Непрерывно-детерминированные модели (D - схемы).

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F - схемы).

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р - схемы).

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы).

2.6. Обобщенные модели (A - схемы).

Литература: стр. 35-67, стр.168-180.

3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА

ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

3.1. Последовательность разработки и машинной реализации моделей систем.

3.2. Построение концептуальной модели системы и ее формализация.

3.3. Алгоритмизация модели и ее машинная реализация.

3.4. Получение и интерпретация результатов моделирования.

Литература: стр. 68-89.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

4.1. Канонические формы моделей динамических систем и методы их исследования.

4.2. Имитационное моделирование.

4.3. Статистическое моделирование.

4.4. Программные и технические средства моделирования систем.

Литература: .

ЦЕЛЬ КУРСА

“Понять - значит построить модель”.

У.Томсон (Кельвин)

Реальные производственные объекты представляют собой, как правило, большие системы, исследование которых является весьма сложной задачей. Основной целью курса является выработка методического подхода к задаче моделирования больших систем и систем управления ими. Эта основная задача может быть разделена на ряд подзадач, также являющихся целями курса:

Знакомство с методами анализа и принципами подхода к моделированию систем;

Изучение основ математического моделирования систем;

Изучение принципов и аппарата моделирования систем;

Знакомство с методами моделирования в проектировании и эксплуатации систем;

Изучение программных и технических средств моделирования систем;

Приобретение практических навыков построения моделей больших систем и методов обработки результатов моделирования.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Курс “Моделирование систем управления” должен дать студенту современный мощный рабочий инструмент инженера для эффективной разработки и эксплуатации автоматизированных производственных систем. Именно моделирование является средством, позволяющим без капитальных затрат решить проблему построения больших систем, к которым относится и современное автоматизированное производство.

Важность изучаемого курса заключается также в овладении приемами и технологией практического решения задач моделирования процессов функционирования систем на ЭВМ.

Студенты должны изучить материал курса в основном самостоятельно. По наиболее сложным вопросам курса, а также по вопросам, недостаточно освещенным в литературе, читаются лекции. Практические навыки по моделированию студенты получают на практических и лабораторных занятиях. Кроме того, в процессе изучения курса, студенты заочного обучения выполняют контрольную работу.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение курса следует начать с ознакомления с современным производством, которое можно рассматривать как сложную систему взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, в которой в качестве технологического объекта управления выступает материально-производственная система, а роль регулятора выполняет информационно-управляющая система. Повышение эффективности реализации процессов управления в производстве требует широкого внедрения автоматизированных систем управления, создаваемых с применением экономико-математических методов и средств информационно-вычислительной техники. В настоящее время полное и всестороннее исследование автоматизированных систем управления на всех этапах разработки, начиная с обследования объекта управления и составления технического задания на проектирование и кончая внедрением системы в эксплуатацию, невозможно без методов моделирования на ЭВМ.

Необходимо уяснить, что методологической основой моделирования является диалектико-материалистический метод познания и научного исследования. Обобщенно моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса.

Основными принципами моделирования являются .

Принцип информативной достаточности. Определяет уровень априорных сведений, при котором может быть создана адекватная модель.

Принцип осуществимости. Определяется вероятностью достижения цели моделирования за конечное время.

Принцип множественности моделей. Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы, которые влияют на выбранный показатель эффективности.

Принцип агрегирования. Модель объекта представлять из агрегатов (подсистем), которые пригодны для описания стантартными математическими схемами.

Принцип параметризации. Модель должна иметь в своем составе подсистемы, характеризующиеся параметрами.

Основные понятия моделирования систем

“Определите значение слов,

И вы избавите человечество

От половины его заблуждений”.

Изучая этот раздел важно уяснить основные понятия, определения, цели и принципы моделирования.

Модель это изображение оригинала на основе принятых гипотез и аналогий, а моделирование - представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

Основное требование которому должна удовлетворять модель адекватность объекту. Адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Модель адекватна объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.

Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов, предсказания их функционирования, синтеза структуры, параметров и алгоритмов поведения.

При управлении модели позволяют оценивать ненаблюдаемые переменные процесса, прогнозировать состояние процесса при имеющихся или выбираемых управлениях и автоматически синтезировать оптимальные стратегии управления.

При проектировании и эксплуатации автоматизированных систем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных закономерностей процессов функционирования систем, проведения структурного, алгоритмического и параметрического синтеза. Решение этих проблем в настоящее время невозможно без использования различных видов моделирования, что обусловлено особенностями больших систем, такими как сложностью структур, стохастичностью связей между элементами и внешней средой, неоднозначностью алгоритмов поведения, большом количестве параметров и переменных, неполнотой и недетерминированностью исходной информации. Математическое моделирование позволяет существенно уменьшить время проектирования, во многих случаях позволяет найти оптимальное решение, исключить метод натурных проб и ошибок, перейти к параллельному процессу проектирования.

В настоящее время при анализе и синтезе больших систем получил развитие системный подход, предполагающий последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды. Модель в этом случае создается под поставленную проблему, а моделирование заключается в решении проблемы цели, проблемы построения модели, проблемы работы с моделью. Для правильно выбранной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы не существенные для данного исследования.

В основе классификации видов моделирования систем лежат различные признаки, такие как степень полноты модели, характер математического описания. Важное место занимает математическое моделирование, представляющее собой процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование включает в себя аналитическое и имитационное. Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта, используя структурное подобие объекта и модели, т.е. каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставиться в соответствие элемент модели.

Техническим средством решения инженерных задач на базе моделирования является ЭВМ. Машинный эксперимент с моделью дает возможность исследовать процесс функционирования в любых условиях, сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом, обладает гибкостью варьирования параметров, структуры, алгоритмов моделируемой системы, является единственным практически реализуемым методом исследования процесса функционирования систем на этапе их проектирования.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое модель и моделирование?

2.Сформулируйте основные требования предъявляемые к модели.

3.Какова роль моделирования при исследовании и проектировании систем и управлении?

4.Дайте определения системы, внешней среды, функционирования системы.

5.В чем смысл системного подхода в моделировании?

6.Перечислите признаки классификации видов моделирования систем.

7.Расскажите о математическом моделировании и его видах.

8.В чем отличие аналитического и имитационного моделирования?

9.Что такое кибернетическое моделирование?

10.Роль и назначение ЭВМ при моделировании.

Математические схемы моделирования систем

“Высшее назначение математики -

Находить порядок в хаосе,

Который нас окружает “.

При изучении этого раздела прежде всего необходимо обратить внимание на понятия математических схем моделирования как общего вида, так и типовых.

Математическую схему определяют как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка “описательная модель - математическая схема - математическая модель”. Математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели.

Модель объекта моделирования, т.е. систему, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему, совокупность воздействий внешней среды, совокупность внутренних (собственных) параметров системы и совокупность выходных характеристик системы. Входные воздействия, воздействия внешней среды, внутренние параметры являются независимыми (э к з о г е н н ы м и) переменными, а выходные характеристики системы являются зависимыми (э н д о г е н н ы м и) переменными. Математическая схема моделирования общего вида задается оператором, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные.

В практике моделирования пользуется типовыми математическими схемами, которые не обладают общностью, но имеют преимущества простоты и наглядности. К ним относятся детерминированные, стохастические и агрегатные типовые модели. В качестве детерминированных моделей используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретное время - разностные уравнения и конечные автоматы. В качестве стохастических моделей для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем - системы массового обслуживания. Агрегатные модели отображают системный характер объектов, которые расчленяются на конечное число частей, сохраняя связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Типовые математические схемы (D- ,F- ,P- ,Q- ,A-) позволяют формализовать достаточно широкий класс больших систем, с которыми приходится иметь дело в практике исследования и проектирования производственных задач.

Вопросы для самопроверки

1.Какова роль математической схемы моделирования?

2.Что представляет собой математическая схема общего вида?

3.Назовите основные формы представления непрерывно-детерминированных моделей.

4.Дайте описание дискретного конечного автомата.

5.Перечислите способы задания работы F - автоматов.

6.Каким образом задается вероятностный автомат.

7.Что представляет собой СМО? Назовите основные элементы СМО.

8.Что такое транзакт?

9.Раскажите о символике Q-схем. Как графически изображаются: источник заявок, канал обслуживания, накопитель, клапан, потоки событий. Приведите пример изображения СМО в символике Q - схем.

10.Какова структура агрегатной системы?

В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

  • специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
  • еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
  • моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

  • по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
  • по динамике (статические и динамические);
  • по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
  • по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

  1. Питание должно быть полезным.
  2. Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

  • модель динамики численности микроорганизмов;
  • модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

  • через пять дней женская особь откладывает яйца;
  • через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Универсальность

Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта

Адекватность

Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели

Точность

Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта

Экономичность

Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

  1. Формулировка законов, связывающих части модели.
  2. Исследование математических задач.
  3. Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
  4. Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

  • формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
  • максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

  • задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
  • задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

  • таблицы;
  • блок-схемы;
  • диаграммы;
  • графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

  • 8 рыб - обитатели северных морей;
  • 20% улова - обитатели южных морей;
  • из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.

Исходной информацией при построении ММ процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой(проектируемой) системы . Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, средства формирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой ММ.

При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображение в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа(результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например представление процесса функционирования ИВС коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящий потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при переходе содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель - математическая схема- имитационная модель.

Каждая конкретная система характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой(системой) Е.

При построении ММ системы необходимо решить вопрос о ее полноте. Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ "Система -среда Е". Так же должна быть решена задача упрощения ММ, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные, в плане цели, моделирования.

ММ объекта моделирования, т.е. системы можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие под множества:

Совокупность -входных воздействий на

Совокупность воздействий внешней среды

Совокупность внутренних (собственных) параметров системы

Совокупность выходных характеристик системы

В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, H, Y не пресекаемые множества, содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.


Таким образом под ММ объекта понимаем конечное множество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф детерминированные, т.е. для конкретного входа вход детерминированный. Детерминированное моделирование - частный случай стохастического моделирования. В практике моделирование объектов в области системном анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени используются дифференциальные, интегральные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени - конечные автоматы и разностные схемы.

Общие методические указания

Цель дисциплины "Методы оптимальных решений" – освоить методологию моделирования торгово - экономических процессов для их анализа и оптимального управления ими.

Цель настоящих методических указаний - оказать помощь студентам в изучении основ экономико-математического моделирования, показать необходимые практические навыки по применению математических методов в построении моделей связи показателей задач торговой практики и на их основе научного обоснования выбора управленческих решений.

Объектом изучения курса являются экономические механизмы управления торговых организаций и предприятий.

Предметом изучения курса являются информационные и функциональные связи торгово-экономических систем.

Результатом допуска к зачету по дисциплине «Методы оптимальных решений» является решенная контрольная работа со всеми заданиями с отметкой преподавателя «Зачтено». Зачтенная контрольная работа остается у преподавателя, в учебно-методический отдел сдается рецензия. В случае неясности условий заданий и с возникновением трудностей при решении задач необходимо проконсультироваться студенту у ведущего преподавателя. Если решенная работы не зачтена, студенту необходимо устранить замечания и сдать контрольную на повторное рецензирование.

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РАБОТЫ

На титульном листе тетради должны быть написаны наименование дисциплины, наименование факультета, курс, фамилия, имя, отчество.

В начале работы или на титульном листе должны быть указаны номера задач, выполненных в контрольном задании.

Перед решением каждой задачи надо полностью записать ее условие. Решение задач должно включать развернутые расчеты и краткие пояснения, экономический анализ полученных результатов. В конце контрольной работы привести список использованной литературы и поставить свою подпись.

Задание №1

Построить экономико-математическую модель определения структуры блюд на предприятии общественного питания, обеспечивающую максимальную прибыль на основе заданных нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда, представленных в следующей таблице 1.

Данные для задач следует выбирать из таблицы 2 по первым буквам фамилии, имени и отчества студента. Например, студент Корниенко Николай Сергеевич должен решить задачу с данными a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 41 =9, a 42 =6, a 44 =4, a 54 =19, b 1 =450, b 2 =310, b 3 =410, b 4 =315, b 5 =400, c 1 =89, c 2 =41, c 3 =50.

16 Математические схемы моделирования систем.

Основные подходы к построению математических моделей системы. Непрерывно-детерминированные модели. Дискретно-детерминированные модели. Дискретно-стохастические модели. Непрерывно-стохастические модели. Сетевые модели. Комбинированные модели.

Основные подходы к построению математических моделей системы.

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.

Математические схемы

Отображаются реальные процессы в виде конкретных схем. Мат. схемы – переход от содержательного описания к формальному описанию системы с учетом воздействия окружающей среды.

Формальная модель объекта

Модель объекта моделирования,

т. е. системы S, можно представить в виде множества величин,

описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих

в общем случае следующие подмножества:

· совокупность входных воздействий на систему

х i ,еХ,(e -символ принадлежит) i =1; nx

· совокупность воздействий внешней среды

v l e V l=1;nv

· совокупность внутренних (собственных) параметров системы

hkeH k=1;nh

· совокупность выходных характеристик системы

yJeY j=1;ny

Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

При моделировании систем входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры содержат и детерминированные и стохастические составляющие.

входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными.


Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором Fs, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида:

y (t)=Fs(x ,v, h,t) – все с ве k торами.

Закон функционирования системы Fs может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Понятие алгоритма функционирования As - метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий, воздействий внешней среды и собственных параметров системы.

Также вводятся состояния системы – свойства системы в конкретные моменты времени.

Совокупность всех возможных значений состояний составляют пространство состояний объекта.

Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход - состояния - выход» позволяет определить характеристики системы:

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {х (t),v (t), h (t)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (t).

Типовые схемы

На первоначальных этапах исследования используются типовые схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени,- конечные автоматы и конечно-разностные схемы.

В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслуживания и т. д.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

Непрерывно-детерминированные модели

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве Мат. моделей дифференциальные уравнения .

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются - уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

Дискретно-детерминированные модели.

ДДМ являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА) . ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.


Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.

Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой: F=,

где z, x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z0ÎZ - начальное состояние; j(z, x) - функция переходов; y(z, x) - функция выхода.

Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

Для задания F - автомата необходимо описать все элементы множества F=, т. е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F - автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям.

Описание работы F - автомата Мили таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется таблицей (1), а описание F - автомата Мура - таблицей переходов (2).

Таблица 1

Переходы

…………………………………………………………

…………………………………………………………

Таблица 2

…………………………………………………………

Примеры табличного способа задания F - автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 3, а для F - автомата Мура F2 - в таблице 4.

Таблица 3

Переходы

Таблица 4

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj обозначается xk. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами.

Рис. 1. Графы автоматов Мили (а) и Мура (б).

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| cij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода.

Пример. Для рассмотренного ранее автомата Мура F2 запишем матрицу состояний и вектор выходов:

;

Дискретно-стохастические модели

Пусть Ф – множество всевозможных пар вида (zk, yi), где уi – элемент выходного

подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал

на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK(J-1) bKJ

Информационные сети" href="/text/category/informatcionnie_seti/" rel="bookmark">обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д.

При этом характерным для

работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на

обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени,

т. е. стохастический характер процесса их функционирования.

Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщённая структура СМО приведена на рисунке 3.1.

Рис. 3.1. Схема СМО.

Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа i (i=1…M) обозначено li. Совокупность заявок всех типов - входящий поток СМО.

Обслуживание заявок выполняется m каналами.

Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения Fji(t) длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределёнными, назначение этих заявок на данный канал.

Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность.

Рассмотрим понятие массового обслуживания.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобразить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания Пi, состоящего из накопителя заявок, в котором может находиться одновременно li=0…LiH заявок, где LiH - ёмкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, ki.

Рис. 3.2. Схема прибора СМО

На каждый элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi поток заявок wi, на канал ki - поток обслуживания ui.

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {tn}={0£t1£t2…£tn£…}, где tn - момент поступления n - ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями {tn}.

Неоднородным ПС называется последовательность {tn, fn} , где tn - вызывающие моменты; fn- набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

Заявки, обслуженные каналом ki и заявки, покинувшие прибор Пi по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток yiÎY.

Процесс функционирования прибора обслуживания Пi можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени Zi(t). Переход в новое состояние для Пi означает изменение кол-ва заявок, которые в нём находятся (в канале ki и накопителе Hi). Т. о. вектор состояний для Пi имеет вид: , где - состояния накопителя, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif" width="24 height=28" height="28">=1- в накопителе одна заявка…, =- накопитель занят полностью; - состояние канала ki (=0 - канал свободен, =1 канал занят).

Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания Пi. Если ki различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы Пi и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).

Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы её функционирования, которые определяют правила поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Нi и обслуживания заявок каналом ki. Неоднородность потока заявок учитывается с помощью введения класса приоритетов – относительные и абсолютные приоритеты.

Т. о. Q‑схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = .

Сетевые модели.

Для формального описания структуры и взаимодействия параллельных систем и процессов, а также анализа причинно-следственных связей в сложных системах используются сети Петри (англ. Petri Nets), называемые N-схемами.

Формально N-схема задается четверкой вида

N = ,

где В – конечное множество символов, называемых позициями, B ≠ O;

D – конечное множество символов, называемых переходами D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I – входная функция (прямая функция инцидентности)

I: B × D → {0, 1}; О – выходная функция (обратная функция инцидентности),

О: B × D → {0, 1}. Таким образом входная функция I отображает переход dj в

множество входных позиций bj I(dj), а выходная функция O отображает

переход dj в множество выходных позиций bj О(dj). Для каждого перехода

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif" width="13" height="13"> B | I(bi, dj) = 1 },

O(dj) = { bi B | O(dj, bi) = 1 },

i = 1,n; j = 1,m; n = | B |, m = | D |.

Аналогично для каждой позиции bi B вводятся определения

множество входных переходов позиции I(bi) и выходных переходов

позиции O(bi):

I(bi) = { dj D | I(dj, bi,) = 1 },

O(bi) = { dj D | O(bi, dj) = 1 }.

Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов - позиций и переходов, соединённых между собой дугами, вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно.

Пример сети Петри. Белыми кружками обозначены позиции, полосками - переходы, чёрными кружками - метки.

Ориентировочные дуги соединяют позиции и переходы, причем каждая дуга направлена от элемента одного множества (позиции или перехода) к элементу другого множества

(переходу или позиции). Граф N-схемы является мультиграфом, так как он

допускает существование кратных дуг от одной вершины к другой.

Декомпозиция" href="/text/category/dekompozitciya/" rel="bookmark">декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой Е) осуществляется с помощью оператора сопряжения R.

Любой агрегат характеризуется следующими множествами: моментов времени T, входных X и выходных Y сигналов, состояний Z в каждый момент времени t. Состояние агрегата в момент времени tT обозначается как z(t) Z,

а входные и выходные сигналы как х(t) X и y(t) Y соответственно.

Будем полагать, что переход агрегата из состояния z(t1) в состояние z(t2)≠z(t1) происходит за малый интервал времени, т. е. имеет место скачок δz.

Переходы агрегата из состояния z(t1) в z(t2) определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегата h(t) H и входными сигналами x(t) X.

В начальный момент времени t0 состояния z имеют значения, равные z0, т. е. z0=z(t0), задаваемые законом распределения процесса z(t) в момент времени t0, а именно J. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала xn описывается случайным оператором V. Тогда в момент поступления в агрегат tnT входного сигнала

xn можно определить состояние

z(tn + 0) = V.

Обозначим полуинтервал времени t1 < t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t < t2 как .

Совокупность случайных операторов V и U рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний δz в моменты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменений состояний между этими моментами tn и tn+1 (оператор U). На оператор U не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний δz в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов x. В дальнейшем моменты скачков δz будем называть особыми моментами времени tδ, а состояния z(tδ) – особыми состояниями А-схемы. Для описания скачков состояний δz в особые моменты времени tδ будем использовать случайный оператор W, представляющий собой частный случай оператора U, т. е.

z(tδ + 0) = W.

В множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z(Y), что если z(tδ) достигает Z(Y), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала, определяемого оператором выходов

у = G.

Таким образом, под агрегатом будем понимать любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных множеств T, X, Y, Z, Z(Y), H и случайных операторов V, U, W, G.

Последовательность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления в А-схему, будем называть входным сообщением или x-сообщением. Последовательность выходных сигналов, упорядоченную относительно времени выдачи, назовем выходным сообщением или y-сообщением.

ЕСЛИ КРАТКО

Непрерывно-детерминированные модели (Д-схемы)

Применяются для исследования систем, функционирующих в непрерывном времени. Для описания таких систем в основном используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения. В обыкновенных дифференциальных уравнениях рассматривается функция только одной независимой переменной, а в уравнениях в частных производных - функции нескольких переменных.

В качестве примера применения Д-моделей можно привести исследование работы механического маятника или электрического колебательного контура. Техническую основу Д-моделей составляют аналоговые вычислительные машины (АВМ) или бурно развивающиеся в настоящее время гибридные вычислительные машины (ГВМ). Как известно, основной принцип исследований на ЭВМ состоит в том, что по заданным уравнениям исследователь (пользователь АВМ) собирает схему из отдельных типовых узлов - операционных усилителей с включением цепей масштабирования, демпфирования, аппроксимации и т. п.

Структура АВМ изменяется в соответствии с видом воспроизводимых уравнений.

В цифровой ЭВМ структура остается неизменной, а изменяется последовательность работы ее узлов в соответствии с заложенной в нее программой. Сравнение АВМ и ЦВМ наглядно показывает разницу между имитационным и статистическим моделированием.

АВМ реализует имитационную модель, но, как правило, не использует принципы статистического моделировании. В ЦВМ большинство имитационных моделей базируется на исследовании случайных чисел, процессов, т. е. на статистическом моделировании. Непрерывно-детерминированные модели широко используются в машиностроении при исследовании систем автоматического управления, выборе амортизирующих систем, выявлении резонансных явлений и колебаний в технике
и т. п.

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

Оперируют с дискретным временем. Эти модели являются основой для исследования работы чрезвычайно важного и распространенного сегодня класса систем дискретных автоматов. С целью их исследования разработан самостоятельный математический аппарат теории автоматов. На основе этой теории система рассматривается как автомат, перерабатывающий дискретную информацию и меняющий, в зависимости от результатов ее переработки, свои внутренние состояния.

На этой модели основаны принципы минимизации числа элементов и узлов в схеме, устройстве, оптимизация устройства в целом и последовательности работы его узлов. Наряду с электронными схемами , ярким представителем автоматов, описываемых данной моделью, является робот, управляющий (по заданной программе) технологическими процессами в заданной детерминированной последовательности.

Станок с числовым программным управлением также описывается данной моделью. Выбор последовательности обработки деталей на этом станке осуществляется настройкой узла управления (контроллера), вырабатывающего сигналы управления в определенные моменты времени / 4 /.

Теория автоматов использует математический аппарат булевых функций, оперирующих с двумя возможными значениями сигналов 0 и 1.

Автоматы разделяются на автоматы без памяти, автоматы с памятью. Описание их работы производится с помощью таблиц, матриц, графов, отображающих переходы автомата из одного состояния в другое. Аналитические оценки при любом виде описания работы автомата весьма громоздки и уже при сравнительно небольшом числе элементов, узлов, образующих устройство, практически невыполнимы. Поэтому исследование сложных схем автоматов, к которым, несомненно, относятся и робототехнические устройства, производится с применением имитационного моделирования.

Дискретно-стохастические модели (P-схемы)

Применяются при исследовании работы вероятностных автоматов. В автоматах этого типа переходы из одного состояния в другое осуществляются под воздействием внешних сигналов и с учетом внутреннего состояния автомата. Однако в отличие от Г-автоматов, эти перехода не строго детерминированы, а могут осуществляться с определенными вероятностями.

Пример такой модели представляет дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний. Анализ F-схем основан на обработке и преобразовании матриц вероятностей переходов и анализе вероятностных графов. Уже для анализа сравнительно простых устройств, поведение которых описывается F-схемами, целесообразно применение имитационного моделирования. Пример такого моделирования приведен в пункте 2.4.

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы)

Используются при анализе широкого класса систем, рассматриваемых как системы массового обслуживания. В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы: потоки поставок продукции предприятию, потоки комплектующих заказных деталей и изделий, потоки деталей на сборочном конвейере, потоки управляющих воздействий от центра управления АСУ на рабочие места и обратные заявки на обработку информации в ЭВМ и т. д.

Как правило, эти потоки зависят от многих факторов и конкретных ситуаций. Поэтому в большинстве случаев эти потоки случайны во времени с возможностью изменений в любые моменты. Анализ таких схем производится на основе математического аппарата теории массового обслуживания. К ним относится непрерывная марковская цепь. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в разработке аналитических методов, теория массового обслуживания, анализ Q-схем аналитическими методами может быть проведен лишь при значительных упрощающих допущениях и предположениях. Детальное исследование большинства этих схем, тем более таких сложных, как АСУТП, робототехнические системы, может быть проведено только с помощью имитационного моделирования.

Обобщенные модели (А-схемы)

Основаны на описании процессов функционирования любых систем на базе агрегативного метода. При агрегативном описании система разбивается на отдельные подсистемы, которые могут считаться удобными для математического описания. В результате такого разбиения (декомпозиции) сложная система представляется в виде многоуровневой системы, отдельные уровни (агрегаты) которой поддаются анализу. На основе анализа отдельных агрегатов и с учетом законов взаимосвязей этих агрегатов удается провести комплексное исследование всей системы.

, Яковлев систем. 4-е изд. – М.: Высшая школа, 2005. – С. 45-82.